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Acciones sobre esferas V: Periodicidad

mayo 18, 2009

En esta entrada vamos a ver cómo resultados similares a la condición pq se obtienen también para acciones de tipo no lineal. Para ello deberemos usar una herramienta nueva: la (co)homología de grupos.

Homología de grupos

Existen dos aproximaciones a la (co)homología de grupos:

Una geométrica: que asocia a cada grupo $G$ un espacio $BG$ de manera funtorial ( $BG$ es un dibujo de $G$ en el sentido que desarrollamos en la serie Dibujando Grupos) de tal manera que la (co)homología de $G$ es aquella del espacio $BG.$
Un algebraica: que asocia a cada grupo $G$ y cada anillo $R$ un anillo $R[G]$ de manera funtorial de tal manera que la (co)homología de $G$ (con coeficientes en $R$ ) es aquella que se obtiene de hacer álgebra homológica con el anillo $R[G].$

Aunque parezca mentira, la proximación más conveniente para el estudio de las acciones libres sobre esferas es la algebraica, y se remonta a Artin y Tate como puede leerse en la página 260 de la referencia:

H. Cartan, y S. Eilenberg,
Homological algebra. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1956. xv+390 pp.
[Math Review]

Nosotros vamos a intentar simplificar los argumentos para reducir los requerimientos algebraicos a mínimos, y de hecho utilizaremos el Capítulo I, Sección 6, de la referencia más reciente:

K.S. Brown,
Cohomology of groups. Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. x+306 pp.
[Math Review]

Empezamos definiendo el anillo grupo (compárese con [5, pp.12–14]):

Definición 5.1: Dado un anillo $R$ y un grupo $G$ , el anillo grupo de $G$ sobre $R$ es el anillo $R[G]$ cuyo grupo aditivo es el grupo abeliano de las combinaciones $R$ -lineales formales (y finitas) de elementos de $G,$ esto es:

$\displaystyle R[G] := \left\{\left. \sum_{i=1}^n r_i g_i\ \right|\ r_i \in R,\ g_i \in G\right\},$

y tal que la operación producto se define extendiendo $R$ -linealmenteel producto en $G.$ Si $K$ es un cuerpo, el anillo grupo $K[G]$ se denomina álgebra grupo.

La construcción del anillo grupo es funtorial: dado un morfismo de grupo $f\colon G\to H$ existe un único morfismo de anillos $\tilde{f}\colon R[G]\to R[H]$ que lo extiende. De este modo podemos pasar de la categoría de grupos a la categoría de anillos, donde podemos podemos considerar $R[G]-$ módulos, y en particular $R[G]-$ módulos libres (o mejor aún, proyectivos), y por supuesto, resoluciones libres (o proyectivas) de módulos que dan lugar a complejos de cadenas. Y una vez que tenemos complejos de cadenas podemos calcular su homología. Ése es el camino que se sigue para definir la homología de un grupo desde un punto de vista algebraico. Así tenemos la definición:

Definición 5.2: Sean $G$ un grupo, $R$ un anillo y $\mathbf{F}\to R$ una resolución libre (proyectiva) de $R$ sobre $R[G].$ Se define la homología de $G$ con coeficientes en $R$ como

$\displaystyle H_{i}(G; R) := H_{i}(\mathbf{F} \otimes_{R[G]} R).$

Como cabe esperar, la definición de arriba no depende de la resolución libre $\mathbf{F}\to R$ considerada.

Vamos a exponer un sencillo ejemplo. Sea $G=\mathbb{Z}/n$ el grupo cíclico de $n$ elementos y $R=\mathbb{Z}.$ Para calcular $H_i(\mathbb{Z}/n; \mathbb{Z})$ lo primero es calcular una resolución libre de $\mathbb{Z}$ sobre $\mathbb{Z}[G].$ Para ello llamamos $t$ al generador de $G$ y consideramos la secuencia de $\mathbb{Z}[G]-$ módulos libres:

$\ldots\to\mathbb{Z}[G]{\stackrel{N}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G]{\stackrel{I}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G]{\stackrel{N}{\longrightarrow}}\mathbb{Z}[G]{\stackrel{I}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G]{\stackrel{\epsilon}{\longrightarrow}} \mathbb{Z},$

donde $\epsilon$ es el morfismo aumentación, $I(x)=(t-1)x$ y $N(x)=(1+t+t^2+\ldots+t^{n-1})x.$

Cuando hacemos el tensor $\otimes_{\mathbb{Z}[G]}\mathbb{Z}$ a la anterior resolución libre obtengo

$\ldots\to\mathbb{Z}{\stackrel{\times n}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}{\stackrel{\times 0}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}{\stackrel{\times n}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}{\stackrel{\times 0}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}.$

De ahí obtenemos que $H_0(\mathbb{Z}/n; \mathbb{Z})=\mathbb{Z},$ $H_{2i+1}(\mathbb{Z}/n; \mathbb{Z})=\mathbb{Z}/n,$ y $H_{2i}(\mathbb{Z}/n; \mathbb{Z})=0.$

El hecho de que los grupos de homología de un grupo se repitan cada “cierto tiempo” (en el caso anterior cada dos pasos) es lo que se denomina periodicidad:

Definición 5.3: Sea $G$ un grupo. Decimos que $G$ posee homología periódica, con periodo $n,$ si para cualquier anillo $R$ existe un isomorfismo $H_i(G ; R)\cong H_{i+n}(G; R)$ para $i>0.$

Homología periódica y acciones sobre esferas impares

Ahora vamos a ver cómo la acción libre de un grupo $G$ sobre una esfera $S^{2n+1}$ impone serias restricciones sobre la homología de $G$ . Para ello vamos a ver como tal acción induce una acción en el complejo de cadenas celular de la esfera, y que “iterando” dicho complejo obtenemos una resolución libre de $\mathbb{Z}$ sobre $\mathbb{Z}[G].$

Como queremos que la acción de $G$ induzca una acción a nivel del complejo de cadenas celular, necesitamos que la acción de $G$ sea compatible con la estructura de CW-complejo de la esfera sobre la que actúa $G.$ Eso nos lleva al concepto de $G-$ complejo celular.

Definición 5.4: Sea $G$ un grupo y $X$ un CW-complejo. Decimos que $X$ es un $G-$ CW-complejo si todo elemento $f\in G$ aplica celdas de $X$ en celdas de $X$ , esto es, si todo elemento de $G$ es celular.

Obviamente, si $X$ es una $G-$ CW-complejo, entonces la acción de $G$ sobre $X$ se extiende a una acción sobre $C_*(X)$ , el complejo de cadenas celular de $X,$ y de manera natural, a la homología de $X$ (aunque para que esto último sea cierto, no hace falta que $X$ sea un $G-$ CW-complejo).

La gran sorpresa es que mirando únicamente la acción de $G$ sobre $H_*(X)$ podemos saber si la acción posee puntos fijos. Para ello definimos la homología libre de torsión de un espacio como $H_*^{libre}(X):=H_*(X)/\text{torsi\'on},$ y etenemos entonces:

Teorema del Punto Fijo de Lefschetz (Teorema 5.5): Sea $f\colon X\to X$ una aplicación celular sin puntos fijos. Entonces:

$\displaystyle \sum (-1)^n\text{Traza}\big(H_n^{libre}(f)\big)=0$

El teorema anterior es un clásico que podemos encontrar, por ejemplo, como Theorem 2C.3 en:

A. Hatcher,
Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp.
[Math Review] [Libro]

Una consecuencia sencilla del Teorema 5.5 es:

Corolario 5.6: Sea $G$ un grupo que actúa libre y celularmente sobre una esfera $S^{2n+1}.$ Entonces la acción de $G$ inducida sobre $H_{2n+1}(S^{2n+1})$ es trivial.

Demostración:
Usando la fórmula de Lefschetz en el Teorema 5.5, para cada $f\in G$ se ha de tener que

$1-\text{Traza}\big(H_{2n+1}^{libre}(f)\big)=0,$

esto es,

$\text{Traza}\big(H_{2n+1}^{libre}(f)\big)=\text{Traza}\big(H_{2n+1}(f)\big)=1$

y por tanto $H_{2n+1}(f)$ es la identidad. ∎

También podríamos usar el Teorema del Punto Fijo de Lefschetz para probar que el único grupo que actúa sin puntos fijos sobre las esferas pares es $\mathbb{Z}/2,$ pero vamos a pasar directamente al resultado que nos interesa:

Teorema 5.7: Sea $G$ un grupo que actúa libre y celularmente sobre una esfera $S^{2n+1}.$ Entonces la homología de $G$ (con coeficientes en cualquier anillo $R$ ) es periódica con periodo $2n+2.$

Demostración:
Como consecuencia del Corolario 5.6, sabemos que tenemos una sucesión exacta de $\mathbb{Z}[G]-$ módulos

$\mathbb{Z}{\stackrel{\eta}{\longrightarrow}} C_{2n+1}(S^{2n+1})\to\ldots\to C_0(S^{2n+1}){\stackrel{\epsilon}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G],$

donde $\epsilon$ es el morfismo aumentación, y $\eta$ es la inclusión de un representante del generador de $H_{2n+1}(S^{2n+1}).$

Además, dado que la acción es celular, la acción inducida sobre el complejo de cadenas hace de $C_k(S^{2n+1})$ un $\mathbb{Z}[G]-$ módulo libre (los elementos de $G$ no pueden aplicar una celda sobre si misma so pena de crear un punto fijo), y por tanto podemos crear una resolución libre de $\mathbb{Z}$ sobre $\mathbb{Z}[G]$ componiendo copias de la sucesión exacta de arriba:

$\ldots\to C_0(S^{2n+1}){\stackrel{\eta\circ\epsilon}{\longrightarrow}} C_{2n+1}(S^{2n+1})\to\ldots\to C_0(S^{2n+1}){\stackrel{\epsilon}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G],$

que es periódica de periodo $2n+2$ lo que nos da el resultado para $H_*(G;\mathbb{Z}).$ Si queremos utilizar otro anillo de coeficientes sólo hay que recordar cómo iba el tema del cambio de coeficientes