El programa de la jornada fue:

En mi charla mal cité un resultado de Serre para justificar que los CW-complejos finitos con funciones de agregación para cualesquiera agentes son contrátiles, y rápidamente Carles Casacuberta puso como ejemplo el espacio que aún siendo un CW-complejo finito posee segundo grupo de homotopía infinitamente generado. La gracia es que ese mismo espacio apareció después en una conversación con Cristina Costoya sobre co-H-espacios que no son simplemente conexos. Tal vez debería escribir una líneas sobre el segundo grupo de homotopía de este espacio.

Por último, me gustó la charla de Francisco Romero, donde se justificaba (y animaba) a estudiar los productos cíclicos, más que los productos simétricos, de esferas.

Además de las charlas habituales en estos encuentros, en esta ocasión se había programado una charla impartida por Jaume Aguadé y de carácter divulgativo, orientada a los alumnos que por allí andaban, que también hizo las delicias de los “profesionales”. Una buena idea para acercar la Topología, y el Encuentro, al alumnado de la universidad que acoge el evento.
Posted in Congresos Tagged: Almería, Congresos ]]> http://geometriasimetrica.wordpress.com/2009/10/28/xvi-encuentro-de-topologa-almera-23-24-de-octubre-de-2009/feed/ 0 Antonio Viruel http://geometriasimetrica.wordpress.com/2009/06/09/beijing-program-on-algebraic-topology-18-29-de-mayo-2009/ http://geometriasimetrica.wordpress.com/2009/06/09/beijing-program-on-algebraic-topology-18-29-de-mayo-2009/#comments Tue, 09 Jun 2009 15:51:20 +0000 Antonio Viruel http://geometriasimetrica.wordpress.com/?p=417 ]]> Del 21 de Mayo al 1 de Junio he estado en Pekín participando en el Beijing Program on Algebraic Topology. Además de disfrutar de la hospitalidad de los habitantes de la metrópolis china (¡qué cuidad más enorme e interesante!) he podido disfrutar de unas charlas muy interesantes. Como siempre, sólo voy a comentar algunas de ellas o los temas tratados:

1. Stephen Theriault dio una charla excelente, a un ritmo muy adecuado (al menos para mis lentas neuronas) y sobre el tema que parece estar de moda ahora: los grupos Gauge. De hecho mostró como ciertas descomposiciones (no los tradicionales splittings) de los grupos de Lie pueden ser usados para el cálculo de la (co)homología del espacio clasificador de algunos grupos de Gauge.
2. Me ha sorprendido cómo los matemáticos nipones vuelven al tema de las generalizaciones del concepto de H-espacio (los espacios de tipo y ). Así, Carles Broto comentaba medio en broma, medio en serio, que el matemático más citado del congreso había sido Jaume Aguadé gracias a sus espacios.
3. A colación del tema anterior, Norio Iwase se preguntaba en su charla:
   

   Dado un H-espacio racional , ¿se verifica que esto es, la categoría LS y la complejidad topológica de coinciden?

   Pues la respuesta es NO. Abusando de la paciencia y conocimientos de Aniceto Murillo pude construir un ejemplo: consideremos con un espacio de Moore simplemente conexo con torsión en dimensión impar. Obviamente y por tanto es un H-espacio racional (trivial). Como los espacios de Moore son suspesiones, y en este caso no es contráctil, tenemos que Por otro lado, usando el Teorema de Coeficientes Universales para cohomología sabemos que la cohomología entera de está concentrada en dimensión Usando la acotación inferior de la complejidad topológica por la nilpotecia del producto cup para los divisores de cero de tenemos que

4. También me gustó la charla de Kee Y. Lam, así como las notas del curso que dio previamente (y al que yo no asistí).

No voy a acabar con la lista de charlas del congreso, pues para eso está la página web del evento.

Homología de grupos

Existen dos aproximaciones a la (co)homología de grupos:

• Una geométrica: que asocia a cada grupo un espacio de manera funtorial ( es un dibujo de en el sentido que desarrollamos en la serie Dibujando Grupos) de tal manera que la (co)homología de es aquella del espacio
• Un algebraica: que asocia a cada grupo y cada anillo un anillo de manera funtorial de tal manera que la (co)homología de (con coeficientes en ) es aquella que se obtiene de hacer álgebra homológica con el anillo

Aunque parezca mentira, la proximación más conveniente para el estudio de las acciones libres sobre esferas es la algebraica, y se remonta a Artin y Tate como puede leerse en la página 260 de la referencia:

4. H. Cartan, y S. Eilenberg,
   Homological algebra. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1956. xv+390 pp.
   [Math Review]

Nosotros vamos a intentar simplificar los argumentos para reducir los requerimientos algebraicos a mínimos, y de hecho utilizaremos el Capítulo I, Sección 6, de la referencia más reciente:

5. K.S. Brown,
   Cohomology of groups. Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. x+306 pp.
   [Math Review]

Empezamos definiendo el anillo grupo (compárese con [5, pp.12–14]):

Definición 5.1: Dado un anillo y un grupo , el anillo grupo de sobre es el anillo cuyo grupo aditivo es el grupo abeliano de las combinaciones -lineales formales (y finitas) de elementos de esto es:

y tal que la operación producto se define extendiendo -linealmenteel producto en Si es un cuerpo, el anillo grupo se denomina álgebra grupo.

La construcción del anillo grupo es funtorial: dado un morfismo de grupo existe un único morfismo de anillos que lo extiende. De este modo podemos pasar de la categoría de grupos a la categoría de anillos, donde podemos podemos considerar módulos, y en particular módulos libres (o mejor aún, proyectivos), y por supuesto, resoluciones libres (o proyectivas) de módulos que dan lugar a complejos de cadenas. Y una vez que tenemos complejos de cadenas podemos calcular su homología. Ése es el camino que se sigue para definir la homología de un grupo desde un punto de vista algebraico. Así tenemos la definición:

Definición 5.2: Sean un grupo, un anillo y una resolución libre (proyectiva) de sobre Se define la homología de con coeficientes en como

 
Como cabe esperar, la definición de arriba no depende de la resolución libre considerada.

Vamos a exponer un sencillo ejemplo. Sea el grupo cíclico de elementos y Para calcular lo primero es calcular una resolución libre de sobre Para ello llamamos al generador de y consideramos la secuencia de módulos libres:

donde es el morfismo aumentación, y

Cuando hacemos el tensor a la anterior resolución libre obtengo

 
De ahí obtenemos que y

El hecho de que los grupos de homología de un grupo se repitan cada “cierto tiempo” (en el caso anterior cada dos pasos) es lo que se denomina periodicidad:

Definición 5.3: Sea un grupo. Decimos que posee homología periódica, con periodo si para cualquier anillo existe un isomorfismo para

Homología periódica y acciones sobre esferas impares

Ahora vamos a ver cómo la acción libre de un grupo sobre una esfera impone serias restricciones sobre la homología de . Para ello vamos a ver como tal acción induce una acción en el complejo de cadenas celular de la esfera, y que “iterando” dicho complejo obtenemos una resolución libre de sobre

Como queremos que la acción de induzca una acción a nivel del complejo de cadenas celular, necesitamos que la acción de sea compatible con la estructura de CW-complejo de la esfera sobre la que actúa Eso nos lleva al concepto de complejo celular.

Definición 5.4: Sea un grupo y un CW-complejo. Decimos que es un CW-complejo si todo elemento aplica celdas de en celdas de , esto es, si todo elemento de es celular.

Obviamente, si es una CW-complejo, entonces la acción de sobre se extiende a una acción sobre , el complejo de cadenas celular de y de manera natural, a la homología de (aunque para que esto último sea cierto, no hace falta que sea un CW-complejo).

La gran sorpresa es que mirando únicamente la acción de sobre podemos saber si la acción posee puntos fijos. Para ello definimos la homología libre de torsión de un espacio como y etenemos entonces:

Teorema del Punto Fijo de Lefschetz (Teorema 5.5): Sea una aplicación celular sin puntos fijos. Entonces:

esto es,

y por tanto es la identidad. ∎

También podríamos usar el Teorema del Punto Fijo de Lefschetz para probar que el único grupo que actúa sin puntos fijos sobre las esferas pares es pero vamos a pasar directamente al resultado que nos interesa:

Teorema 5.7: Sea un grupo que actúa libre y celularmente sobre una esfera Entonces la homología de (con coeficientes en cualquier anillo ) es periódica con periodo

Demostración:
Como consecuencia del Corolario 5.6, sabemos que tenemos una sucesión exacta de módulos

donde es el morfismo aumentación, y es la inclusión de un representante del generador de

Además, dado que la acción es celular, la acción inducida sobre el complejo de cadenas hace de un módulo libre (los elementos de no pueden aplicar una celda sobre si misma so pena de crear un punto fijo), y por tanto podemos crear una resolución libre de sobre componiendo copias de la sucesión exacta de arriba:

que es periódica de periodo lo que nos da el resultado para Si queremos utilizar otro anillo de coeficientes sólo hay que recordar cómo iba el tema del cambio de coeficientes ∎

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• La charla de John Oprea me ha parecido muy buena: ¡hasta ha conseguido que me interesen los grupos de Gottlieb! A lo largo de ésta ha ido soltando pequeñas perlas como: “podemos pensar en los elementos de los grupos de Gottlieb como acciones de la esfera sobre el espacio” o “la curvatura y el grupo fundamental están ligados por resultados como el Teorema de Preissman, y dado que el grupo de Gottlieb detecta copias de …”. Le he pedido bibliografía al respecto y veré si aprendo algo.
• En las charlas de David Chataur y Katsuhiko Kuribayashi he descubierto que existe algo llamado “el funtor de división de Lannes”, que al igual que el famoso funtor T, es el adjunto por la izquierda de considerar un producto tensorial. Como cabe imaginar, se usa para el cálculo de la cohomología de espacios de aplicaciones donde ahora el espacio de salida no es el clasificador de un grupo finito.
• Pero en lo que se refiere a modelos racionales de espacios de funciones, quien parece estar por delante de todos es Urtzi. Y el caso es que no usa el funtor de división de Lannes, o al menos eso me ha parecido entender.
• También ha estado bien la charla de Shuichi Tsukuda sobre grupos “gauge” (dio otra sobre robótica topológica). Me ha recordado mucho el tipo de cosas que yo hacía al principio de mis trabajos sobre grupos de Lie. Habrá que echarle un vistazo al tema
• Las sesiones de problemas han sido impresionantes. Los que han expuesto los problemas, así como aquellos que los han comentado me han dejado sin habla. Definitivamente voy a mirar cosas de los grupos de Gottlieb (a ver cuánto me dura esta fiebre).

Finalmente, la lista de charlas que he escuchado:

1. John Oprea (Cleveland), Gottlieb Groups, Evaluation Maps and Geometry
2. Katsuhiko Kuribayashi (Nagano), Models for Function Spaces and Applications
3. Urtzi Buijs (Málaga), The Homotopy Lie Algebra, Lie and Models of Mapping Spaces (joint with Y. Félix and A. Murillo)
4. Jean-Baptiste Gatsinzi (Gaborone), Rational Homotopy Groups of Function Spaces
5. David Chataur (Villeneuve d’Ascq), Division functors and Mapping Spaces
6. Shuichi Tsukuda (Okina), Survey on Gauge Groups
7. Paolo Salvatore (Roma), Cyclic Formality of the Operad of FRamed Little Discs, with Implications for Spaces of Knots
8. Svjetlana Terzic (Podgorica), The Integral Pontrjagin Homology of the Based Loop Space on a Flag Manifold
9. Andrey Lararev (Leicester), CharacteristicClasses of Operadic Algebras
10. Christoph Wockel (Göttingen), Non-Integral Central Extension of Loop Groups via Gerbes
11. Marek Golasiński (Toruń), Fox and Gottlieb Groups and Whitehead Products (joint with D. Gonçalves, J. Mukai and P. Wong)
12. Daniel Gottlieb (Purdue/UCLA), Self Coincidence Numbersand the Fundamental Group
13. Méadhbh Boyle (Laussanne), An Algebraic Model for the Homology of Pointed Mapping Spaces out of a Closed Surface
14. Yves Félix (Lovain-La-Neuve), Problem Session I
15. Jonathan Scott (Cleveland), On the Geodesic Conjecture (joint with K. Hess)
16. Antonio Viruel (Málaga), On Equivalences of a Product and Mal’cev Quasirings
17. Jeff Strom (Kalamazoo), Miller Spaces
18. Shuichi Tsukuda (Okina), On the Configuration Space of a Certain n-arms Machine in Euclidean Space
19. Yves Félix (Lovain-La-Neuve), Problem Session II

Aquí “dibujar un grupo” significa “representar un grupo mediante una estructura con significado geométrico” (signifique lo que signifique esto último ). Esta estructura puede ser algo tan sencillo como algunas líneas trazadas sobre un plano, o algo tan complicado como un espacio topológico de dimensión infinita.

Pero ¿qué interés puede tener “dibujar un grupo”? Las ventajas son varias, dependiendo de nuestros intereses:

• Puede ser una magnífica herramienta para popularizar ciertos aspectos que implican la presencia de grupos. Un ejemplo clásico de esta situación es el uso de los grupos cristalográficos y los bonitos diseños que generan en charlas de divulgación. Otro ejemplo menos habitual lo encontramos en el uso que Jaume Aguadé hace del grafo de Cayle para explicar el Problema de Burnside
• Permite acallar ciertos comentarios del tipo “si no se puede dibujar, no es geometría” (no veremos ejemplos para no herir sensibilidades).
• Un algoritmo que genere “dibujos” se transforma en un algoritmo que genera grupos. Algunos de estos algoritmos pueden ser muy interesantes: si por ejemplo generamos una secuencia de grupos finitos, y en la serie nos encontramos con alguno de los grupos esporádicos, mostraría que los grupos esporádicos no son tan esporádicos. Uno de estos ejemplos es la Serie Iguanadón de grupos simples construidos por Lieven Le Bruyn.
• Los invariantes geométricos asociados a los dibujos de un grupo se transforman en invariantes del grupo. Esto permite realizar una clasificación “geométrica” de los grupos. Por ejemplo, podemos decir que un grupo posee dimensión su su “dibujo” tiene dimensión , y luego clasificar los grupos de una dimensión dada. El estudio de cuándo una de estas definiciones geométricas de la dimensión coincide con otra definición de tipo algebraica es el origen de la famosa Conjetura de Eilenberg-Ganea.

Teorema 4.1: Sea un grupo finito que actúa libremente y de manera lineal sobre una esfera . Si es un subgrupo de orden con y primos (no necesariamente diferentes), entonces (esto es, es clíclico).

Demostración:
Lo primero es notar que si actúa libremente y de manera lineal sobre la esfera entonces actúa libremente y de manera lineal sobre el espacio

Como actúa libremente y de manera lineal sobre para cualquier subgrupo y cualquier se tiene que

ya que de lo contrario sería un punto fijo por la acción de ya que para cualquier se tiene que

Ahora, sea un subgrupo de orden con y primos (no necesariamente diferentes), tal que Nótese que dado que no es clíclico, y que y son primos, todo elemento no trivial está contenido en un único subgrupo propio (diferente del total) de Dicho de otro modo, si es la colección de subgrupos propios de dado no trivial existe un único tal que Por tanto, para cualquier se tiene que

esto es, para cualquier Pero recordemos que es el número de subgrupos propios de que tiene orden con y primos, y por tanto lo que es una contradicción. ∎

Este teorema nos permite descartar posibles acciones libres y lineales sobre esferas para una ingente cantidad de grupos. Para empezar, los grupos simétricos:

Corolario 4.2: El grupo de permutaciones de letras no actúa lineal y libremente sobre ninguna esfera si

Demostración:
Lo primero es notar que el orden de es y que no es un grupo cíclico (de hecho no es abeliano), luego no actúa lineal y libremente sobre ninguna esfera.

Pero aparece de manera natural como subgrupo de para cualquier y por tanto si existiese alguna acción libre y lineal de sobre alguna esfera, tendríamos automáticamente una acción de que hemos visto que no existe. ∎

Antes de seguir estudiando las consecuencias del teorema, vamos a recordar algunos conceptos y resultados de la teoría de grupos:

Definición 4.3: Sea un grupo finito, el rango de se define como

para algún entero

Definición 4.4: Sea un grupo finito, decimos que es un grupo si todo elemento de tiene orden alguna potencia de

Teorema 4.5: Sea un grupo finito, entonces para cada primo que divide el orden de , los subgrupos maximales de son todos conjugados entre si, y se denominan los sylows de

Tras el repaso a la teoría de grupos, pasamos a las aplicaciones del Teorema 4.1:

Corolario 4.6: Si el grupo actúa libre y linealmente sobre alguna esfera entonces

El colorario anterior nos dice que ningún grupo que contenga alguna copia de para algún primo puede actuar libre y linealmente sobre esfera alguna. Esto tiene consecuencias sobre la estructura de los sylows de

Corolario 4.7: Si el grupo actúa libre y linealmente sobre alguna esfera entonces para cada primo que divide el orden de se verifica:

1. Los sylows de son cíclicos si
2. Los sylows de son cíclicos o cuaterniones generalizados si

En la siguiente entrega veremos que esta restricción en la estructura de se obtiene también incluso cuando las acciones consideradas no son lineales (aunque sí libres). Más adelante veremos una restricción más, y que la verdad es que no soy capaz de deducir de la condición pq. Lo dejo expresado aquí en forma de problema:

Problema 4.8: Sea un grupo finito que verifica las tesis del Corolario 4.7. ¿Es verdad entonces que contiene a lo sumo una única involución?

Problema 3.1: Clasificar todas las variedades diferenciales cuyo recubridor universal sea una esfera.

El problema, tal y como está planteado ahí, fue propuesto por H. Hopf en su artículo:

1. H. Hopf, Zum Clifford-Kleinschen Raumsproblem, Mathematische Annalen 95 (1925-26), 313-339.
   [Math Review] [Artículo]

Pero ¿qué tiene que ver con las acciones libres de grupos finitos?

Si es una variedad diferencial con recubridor universal tenemos entonces una aplicación recubridora cuyo grupo de transformaciones de cubierta es precisamente actúa de manera propiamente discontinua sobre y además es homeomorfa a

Que la acción de sea propiamente discontinua implica que:

• actúa libremente sobre
• para todo , la órbita no posee puntos de acumulación, y dado que es compacto, es finita. Usando el punto anterior y el Teorema 1.6 concluimos que es finito.

Es por tanto que el Problema 3.1 es equivalente a:

Problema 3.2: Clasificar todas las posibles acciones libres de un grupo finito sobre esferas.

En este punto, a uno le pica la curiosidad de por qué Hopf se planteó este problema. Como podemos leer en el título del trabajo, Hopf estaba interesado en las variedades de Clifford-Klein, esto es, en variedades de Riemann completas y con curvatura seccional constantemente +1. Si le echamos un vistazo a:

2. J. Wolf, Spaces of constant curvature. Fifth edition. Publish or Perish, Inc., Houston, TX, 1984.
   [Math Review]
3. F. Gómez, Geometría de Riemann, preprint.

nos encontramos con el siguiente resultado [2, Theorem 2.4.9] y [3, pag. 122]:

Teorema 3.3: Sea una variedad de Riemann de dimensión completa cuya curvatura seccional sea una constante Entonces el recubridor universal de con la métrica recubridora, es isométrico a:

i) el espacio hiperbólico si

ii) el espacio euclídeo si

iii) la esfera unidad si

Corolario 3.4: Sea una variedad de Riemann de dimensión completa y cuya curvatura seccional sea una constante Entonces es isométrica a un cociente:

i) con si

ii) con si

iii) con si

Obsérvese que dado que tenemos que preservar las métricas, es un grupo de isometrías del recubridor universal en cada caso. Como además hemos de obtener un recubrimiento al considerar el espacio de órbitas, ha de ser discreto (finito en el caso ) y actuar libremente (1 no es autovalor de ningún elemento de en el caso ).

Ahora está claro por qué Hopf estaba interesado en las acciones libres sobre esferas.

Para acabar, si bien se conocen qué grupos actúan libremente en una esfera homotópica, el Problema 3.1 sigue abierto (al menos que yo sepa), y en particular no tenemos una completa clasificación de los grupos que actúan libremente sobre (la esfera “de verdad”). De hecho, parece que aún sigue sin confirmarse la siguiente conjetura:

Conjetura 3.5: Sea un grupo finito que actúa libremente sobre un espacio homeomorfo a la esfera entonces la acción de es topológicamente conjugada a una acción lineal, esto es inducida por una representación de tal manera que el espacio de órbitas es homeomorfo una variedad de Riemann de dimensión completa y con curvatura seccional constante y positiva.