Simetría y belleza

abril 27, 2011

Hace tiempo que no publicaba nada en la bitácora, pero hoy he visto este video y, aunque no es de contenido matemático en el sentido estricto, no me he podido resistir a incluirlo aquí:

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Jornadas Temáticas Interdisciplinares de la RET: Productos simétricos, Madrid 20 de noviembre de 2009

agosto 12, 2010

Tras un muy largo parón, he decidido retomar los apuntes en esta bitácora. Y cronológicamente toca contar que he tenido el honor de participar en las primeras Jornadas Temáticas Interdisciplinares de la Red Española de Topología. Esta primera jornada ha sido coordinada por Francisco Romero Ruiz del Portal, y se articulaba alrededor del concepto de producto simétrico de espacios.

El programa de la jornada fue:

09.30 – 10.00 Recepción de participantes en el Aula de Grados de la Facultad de Matemáticas
10.00 – 10.45 Antonio Viruel Arbáizar (Univ. Málaga), Elección social topológica: productos simétricos en Economía
10.45 – 11.30 Carles Casacuberta Vergés (Univ. Barcelona), Producto simétrico infinito y localización de grupos abelianos topológicos
11.30 – 12.00 Pausa café
12.00 – 12.45 Oriol Raventós Morera (Univ. Barcelona), Acerca del producto simétrico infinito estable y otros funtores adjuntos
12.45 – 13.30 Francisco Romero Ruiz del Portal (Univ. Complutense de Madrid), Índice de Lefschetz local en productos simétricos
15.00 – 17.00 Mesa redonda y conclusiones de la Jornada

En mi charla mal cité un resultado de Serre para justificar que los CW-complejos finitos con funciones de agregación para cualesquiera n agentes son contrátiles, y rápidamente Carles Casacuberta puso como ejemplo el espacio S^2\vee S^1 que aún siendo un CW-complejo finito posee segundo grupo de homotopía infinitamente generado. La gracia es que ese mismo espacio apareció después en una conversación con Cristina Costoya sobre co-H-espacios que no son simplemente conexos. Tal vez debería escribir una líneas sobre el segundo grupo de homotopía de este espacio.

Por último, me gustó la charla de Francisco Romero, donde se justificaba (y animaba) a estudiar los productos cíclicos, más que los productos simétricos, de esferas.


XVI Encuentro de Topología, Almería 23-24 de Octubre de 2009

octubre 28, 2009
Otro año más he asistido al Encuentro de la Red Española de Topología, este año organizado por José Luis Rodríguez en la Universidad de Almería. La página del Encuentro es ésta.

Además de las charlas habituales en estos encuentros, en esta ocasión se había programado una charla impartida por Jaume Aguadé y de carácter divulgativo, orientada a los alumnos que por allí andaban, que también hizo las delicias de los “profesionales”. Una buena idea para acercar la Topología, y el Encuentro, al alumnado de la universidad que acoge el evento.


Beijing Program on Algebraic Topology, 18-29 de Mayo 2009

junio 9, 2009
Del 21 de Mayo al 1 de Junio he estado en Pekín participando en el Beijing Program on Algebraic Topology. Además de disfrutar de la hospitalidad de los habitantes de la metrópolis china (¡qué cuidad más enorme e interesante!) he podido disfrutar de unas charlas muy interesantes. Como siempre, sólo voy a comentar algunas de ellas o los temas tratados:

  1. Stephen Theriault dio una charla excelente, a un ritmo muy adecuado (al menos para mis lentas neuronas) y sobre el tema que parece estar de moda ahora: los grupos Gauge. De hecho mostró como ciertas descomposiciones (no los tradicionales splittings) de los grupos de Lie pueden ser usados para el cálculo de la (co)homología del espacio clasificador de algunos grupos de Gauge.
  2. Me ha sorprendido cómo los matemáticos nipones vuelven al tema de las generalizaciones del concepto de H-espacio (los espacios de tipo T_n y C_n). Así, Carles Broto comentaba medio en broma, medio en serio, que el matemático más citado del congreso había sido Jaume Aguadé gracias a sus T_n espacios.
  3. A colación del tema anterior, Norio Iwase se preguntaba en su charla:

    Dado un H-espacio racional X, ¿se verifica que cat(X)= TC(X), esto es, la categoría LS y la complejidad topológica de X coinciden?

    Pues la respuesta es NO. Abusando de la paciencia y conocimientos de Aniceto Murillo pude construir un ejemplo: consideremos X=M(\mathbb{Z}/q,2n-1), con q\in\mathbb{N}^+ un espacio de Moore simplemente conexo con torsión en dimensión impar. Obviamente X_0\simeq\star y por tanto X es un H-espacio racional (trivial). Como los espacios de Moore son suspesiones, y en este caso X no es contráctil, tenemos que cat(X)=1. Por otro lado, usando el Teorema de Coeficientes Universales para cohomología sabemos que la cohomología entera de X está concentrada en dimensión 2n. Usando la acotación inferior de la complejidad topológica por la nilpotecia del producto cup para los divisores de cero de H^*(X;\mathbb{Z}), tenemos que CT(X)=2.

  4. También me gustó la charla de Kee Y. Lam, así como las notas del curso que dio previamente (y al que yo no asistí).

No voy a acabar con la lista de charlas del congreso, pues para eso está la página web del evento. 🙂


Acciones sobre esferas V: Periodicidad

mayo 18, 2009
En esta entrada vamos a ver cómo resultados similares a la condición pq se obtienen también para acciones de tipo no lineal. Para ello deberemos usar una herramienta nueva: la (co)homología de grupos.

Homología de grupos

Existen dos aproximaciones a la (co)homología de grupos:

  • Una geométrica: que asocia a cada grupo G un espacio BG de manera funtorial (BG es un dibujo de G en el sentido que desarrollamos en la serie Dibujando Grupos) de tal manera que la (co)homología de G es aquella del espacio BG.
  • Un algebraica: que asocia a cada grupo G y cada anillo R un anillo R[G] de manera funtorial de tal manera que la (co)homología de G (con coeficientes en R) es aquella que se obtiene de hacer álgebra homológica con el anillo R[G].

Aunque parezca mentira, la proximación más conveniente para el estudio de las acciones libres sobre esferas es la algebraica, y se remonta a Artin y Tate como puede leerse en la página 260 de la referencia:

  1. H. Cartan, y S. Eilenberg,
    Homological algebra. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1956. xv+390 pp.
    [Math Review]

Nosotros vamos a intentar simplificar los argumentos para reducir los requerimientos algebraicos a mínimos, y de hecho utilizaremos el Capítulo I, Sección 6, de la referencia más reciente:

  1. K.S. Brown,
    Cohomology of groups. Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. x+306 pp.
    [Math Review]

Empezamos definiendo el anillo grupo (compárese con [5, pp.12–14]):

Definición 5.1: Dado un anillo R y un grupo G, el anillo grupo de G sobre R es el anillo R[G] cuyo grupo aditivo es el grupo abeliano de las combinaciones R-lineales formales (y finitas) de elementos de G, esto es:

\displaystyle R[G] := \left\{\left. \sum_{i=1}^n r_i g_i\ \right|\ r_i \in R,\ g_i \in G\right\},
y tal que la operación producto se define extendiendo R-linealmenteel producto en G. Si K es un cuerpo, el anillo grupo K[G] se denomina álgebra grupo.

La construcción del anillo grupo es funtorial: dado un morfismo de grupo f\colon G\to H existe un único morfismo de anillos \tilde{f}\colon R[G]\to R[H] que lo extiende. De este modo podemos pasar de la categoría de grupos a la categoría de anillos, donde podemos podemos considerar R[G]-módulos, y en particular R[G]-módulos libres (o mejor aún, proyectivos), y por supuesto, resoluciones libres (o proyectivas) de módulos que dan lugar a complejos de cadenas. Y una vez que tenemos complejos de cadenas podemos calcular su homología. Ése es el camino que se sigue para definir la homología de un grupo desde un punto de vista algebraico. Así tenemos la definición:

Definición 5.2: Sean G un grupo, R un anillo y \mathbf{F}\to R una resolución libre (proyectiva) de R sobre R[G]. Se define la homología de G con coeficientes en R como

\displaystyle  H_{i}(G; R) := H_{i}(\mathbf{F} \otimes_{R[G]} R).
 
Como cabe esperar, la definición de arriba no depende de la resolución libre \mathbf{F}\to R considerada.

Vamos a exponer un sencillo ejemplo. Sea G=\mathbb{Z}/n el grupo cíclico de n elementos y R=\mathbb{Z}. Para calcular H_i(\mathbb{Z}/n; \mathbb{Z}) lo primero es calcular una resolución libre de \mathbb{Z} sobre \mathbb{Z}[G]. Para ello llamamos t al generador de G y consideramos la secuencia de \mathbb{Z}[G]-módulos libres:

\ldots\to\mathbb{Z}[G]{\stackrel{N}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G]{\stackrel{I}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G]{\stackrel{N}{\longrightarrow}}\mathbb{Z}[G]{\stackrel{I}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G]{\stackrel{\epsilon}{\longrightarrow}} \mathbb{Z},
donde \epsilon es el morfismo aumentación, I(x)=(t-1)x y N(x)=(1+t+t^2+\ldots+t^{n-1})x.

Cuando hacemos el tensor \otimes_{\mathbb{Z}[G]}\mathbb{Z} a la anterior resolución libre obtengo

\ldots\to\mathbb{Z}{\stackrel{\times n}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}{\stackrel{\times 0}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}{\stackrel{\times n}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}{\stackrel{\times 0}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}.
 
De ahí obtenemos que H_0(\mathbb{Z}/n; \mathbb{Z})=\mathbb{Z}, H_{2i+1}(\mathbb{Z}/n; \mathbb{Z})=\mathbb{Z}/n, y H_{2i}(\mathbb{Z}/n; \mathbb{Z})=0.

El hecho de que los grupos de homología de un grupo se repitan cada “cierto tiempo” (en el caso anterior cada dos pasos) es lo que se denomina periodicidad:

Definición 5.3: Sea G un grupo. Decimos que G posee homología periódica, con periodo n, si para cualquier anillo R existe un isomorfismo H_i(G ; R)\cong H_{i+n}(G; R) para i>0.

Homología periódica y acciones sobre esferas impares

Ahora vamos a ver cómo la acción libre de un grupo G sobre una esfera S^{2n+1} impone serias restricciones sobre la homología de G. Para ello vamos a ver como tal acción induce una acción en el complejo de cadenas celular de la esfera, y que “iterando” dicho complejo obtenemos una resolución libre de \mathbb{Z} sobre \mathbb{Z}[G].

Como queremos que la acción de G induzca una acción a nivel del complejo de cadenas celular, necesitamos que la acción de G sea compatible con la estructura de CW-complejo de la esfera sobre la que actúa G. Eso nos lleva al concepto de G-complejo celular.

Definición 5.4: Sea G un grupo y X un CW-complejo. Decimos que X es un G-CW-complejo si todo elemento f\in G aplica celdas de X en celdas de X, esto es, si todo elemento de G es celular.

Obviamente, si X es una G-CW-complejo, entonces la acción de G sobre X se extiende a una acción sobre C_*(X), el complejo de cadenas celular de X, y de manera natural, a la homología de X (aunque para que esto último sea cierto, no hace falta que X sea un G-CW-complejo).

La gran sorpresa es que mirando únicamente la acción de G sobre H_*(X) podemos saber si la acción posee puntos fijos. Para ello definimos la homología libre de torsión de un espacio como H_*^{libre}(X):=H_*(X)/\text{torsi\'on}, y etenemos entonces:

Teorema del Punto Fijo de Lefschetz (Teorema 5.5): Sea f\colon X\to X una aplicación celular sin puntos fijos. Entonces:

\displaystyle \sum (-1)^n\text{Traza}\big(H_n^{libre}(f)\big)=0
 
El teorema anterior es un clásico que podemos encontrar, por ejemplo, como Theorem 2C.3 en:

  1. A. Hatcher,
    Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp.
    [Math Review] [Libro]

Una consecuencia sencilla del Teorema 5.5 es:

Corolario 5.6: Sea G un grupo que actúa libre y celularmente sobre una esfera S^{2n+1}. Entonces la acción de G inducida sobre H_{2n+1}(S^{2n+1}) es trivial.

Demostración:
Usando la fórmula de Lefschetz en el Teorema 5.5, para cada f\in G se ha de tener que

1-\text{Traza}\big(H_{2n+1}^{libre}(f)\big)=0,

esto es,

\text{Traza}\big(H_{2n+1}^{libre}(f)\big)=\text{Traza}\big(H_{2n+1}(f)\big)=1
y por tanto H_{2n+1}(f) es la identidad. ∎

También podríamos usar el Teorema del Punto Fijo de Lefschetz para probar que el único grupo que actúa sin puntos fijos sobre las esferas pares es \mathbb{Z}/2, pero vamos a pasar directamente al resultado que nos interesa:

Teorema 5.7: Sea G un grupo que actúa libre y celularmente sobre una esfera S^{2n+1}. Entonces la homología de G (con coeficientes en cualquier anillo R) es periódica con periodo 2n+2.

Demostración:
Como consecuencia del Corolario 5.6, sabemos que tenemos una sucesión exacta de \mathbb{Z}[G]-módulos

\mathbb{Z}{\stackrel{\eta}{\longrightarrow}} C_{2n+1}(S^{2n+1})\to\ldots\to C_0(S^{2n+1}){\stackrel{\epsilon}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G],
donde \epsilon es el morfismo aumentación, y \eta es la inclusión de un representante del generador de H_{2n+1}(S^{2n+1}).

Además, dado que la acción es celular, la acción inducida sobre el complejo de cadenas hace de C_k(S^{2n+1}) un \mathbb{Z}[G]-módulo libre (los elementos de G no pueden aplicar una celda sobre si misma so pena de crear un punto fijo), y por tanto podemos crear una resolución libre de \mathbb{Z} sobre \mathbb{Z}[G] componiendo copias de la sucesión exacta de arriba:

\ldots\to C_0(S^{2n+1}){\stackrel{\eta\circ\epsilon}{\longrightarrow}} C_{2n+1}(S^{2n+1})\to\ldots\to C_0(S^{2n+1}){\stackrel{\epsilon}{\longrightarrow}} \mathbb{Z}[G],
que es periódica de periodo 2n+2 lo que nos da el resultado para H_*(G;\mathbb{Z}). Si queremos utilizar otro anillo de coeficientes sólo hay que recordar cómo iba el tema del cambio de coeficientes 🙂 ∎


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El mejor truco de cartas I: el truco clásico

abril 22, 2009
Éste es un truco de magia con el que me he encontrado unas cuantas veces en este mes pasado, tantas que al final me he decidido a entenderlo.

Una colaboración entre dos personas

A recibe cinco cartas de una baraja francesa de 52 cartas, selecciona una de las cinco y le pasa las otras cuatro a B. Basándose sólo en los números y palos de las cartas que le fueron entregadas, y en el orden en el que le fueron entregados, B está en posición de identificar cuál es la carta con la que se quedó A.

¿Qué estrategia podrían acordar de antemano A y B para asegurarse de que B identifique correctamente la carta con la que se quedó A, independientemente de qué cinco cartas haya recibido A?

La primera vez que lo he leido, tal cual está arriba, ha sido a mediados de Marzo en (desde que recibo las revistas hasta que las leo y esta sección está en las últimas páginas …):

  • Agustín Rayo, “Cartas, monedas y sombreros” en Juegos Matemáticos, Investigación y Ciencia 389 (Febrero 2009), 90-91.

Cuando no hacía ni una semana de la lectura anterior, llega la hora de ir a Sant Feliu de Gixols a la Fase Nacional de la Olimpiada Matemática Española. Y justo al ir a tomar el autobús de Barcelona a Sant Feliu me encuentro con Pedro Alegría ¡el encargado de El Rincón Matemágico de Divulgamat! Le comento el tema y me dice que el truco de las 5 cartas, ¡se puede realizar con barajas de hasta 124 cartas!

El segundo día de las pruebas no tengo que vigilar, así que  me cuelo en el curso Magia y Matemáticas: de Pacioli a Gadner que impartía Fernando Blasco Contreras. Para mi fortuna, realiza el truco, lo explica (al igual que en el artículo de Rayo, sólo da la estrategia a seguir) y de nuevo comenta que se puede hacer hasta con 124 cartas, pero además da una referencia:

  • Michael Kleber, “The best card trick”, Mathematical Intelligencer 24, nº 1,  (2002), 9-11.
    [Artículo]

Así que he buscado el artículo en cuestión (aquí hay una versión del mismo) y como decía, me he puesto a entenderlo. Lo que sigue (en esta entrega y la siguiente) es mi interpretación de las matemáticas en el artículo anterior (que además contiene referencias históricas al inventor y a las mejoras del truco).

¿Es posible encontrar una estrategia?

A priori parece que no: A sólo se comunica con B mediante una secuencia ordenada de 4 cartas (aparentemente sólo son posibles 4!=24 mensajes), y ha de transmitir el valor de la quinta carta (aparentemente habría 48 posibilidades para la quinta carta). Pero no exactamente así como suceden las cosas: A recibe una mano de 5 cartas y es A quien decide cuál será la quinta carta. Por tanto la estrategia a buscar consiste en una correspondencia entre las posibles manos de 5 cartas (que son \binom{52}{5}=2598960 manos) y las secuencias ordenadas de 4 cartas (que son 6497400 secuencias). Así que en principio, el número de manos es menor que el de secuencias ordenadas en proporción {2\over 5}, y por tanto la estrategia podría existir.

Y la estrategia existe; hay que darse cuenta que:

  1. De las 5 cartas que recibe A, al menos 2 de ellas pertenecen al mismo palo.
  2. En cada palo hay sólo 13 cartas (que numeraremos de 0 a 12), y podemos definir un “orden cíclico” no transitivo dado por a\leq b si y sólo si b=a+k (\text{mod }13) para algún 0\leq k\leq 6. Obsérvese que dado un par de cartas cualesquiera, una es siempre menor que la otra con la relación de “orden cíclico” anterior.
  3. Dadas 3 cartas de la baraja, las puedo ordenar de 3!=6 formas diferentes, de modo que cada permutación corresponda a un número entre 1 y 6.

Así que estamos en condiciones de dar la estrategia:

  1. A y B acuerdan un orden (de verdad) para toda la baraja, esto es, dadas dos cartas han de ser capaces de decidir que carta es menor. El ejemplo más sencillo de orden puede ser el lexicográfico: las cartas se ordenan primero por palos (corazón < diamante < pica < trébol) y entre cartas del mismo palo se orden por el valor.
  2. A y B acuerdan un orden (de verdad) para todas las permutaciones de tres elementos, que denotaremos P, M y G por las razones expuestas más abajo. Por ejemplo, podemos volver a usar el orden lexicográfico, de modo que GMP \leq GPM \leq MGP \leq MPG \leq PGM \leq PMG.
  3. De las 5 cartas que recibe A, hay dos que pertenecen al mismo palo (puede haber más de una pareja posible), que llamaremos C_1 y C_2, y otras tres cartas que de acuerdo con el orden (de verdad) para toda la baraja denotaremos por P (de Pequeña), M (de Mediana) y G (de Grande). Supondremos que C_1 es menor que C_2 según el “orden cíclico” definido arriba, y por tanto existe un natural 1\leq k \leq 6 tal que C_2=C_1 +k (\text{mod }13). La carta que B ha de adivinar será C_2.
  4. La primera carta que A pasa a B es la carta C_1, que le indica el palo.
  5. Después, A informa a B del valor de la constante k haciéndole llegar la k-ésima permutación de acuerdo con el orden (de verdad) establecido para las permutaciones.

Es obvio que esta estrategia no es única: depende de las elecciones sobre el orden de la baraja y las permutaciones que han realizado a priori A y B, y de la posición en la que acuerden que saldrá la carta C_1 (que no ha de ser necesariamente la primera carta).

En la siguiente entrega veremos que la estrategia descrita no es única ni siquiera cuando se consideran equivalentes las estrategias que dependen de las elecciones de orden involucradas.


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Oberwolfach, 5-11 de abril 2009

abril 14, 2009
Esta semana pasada he disfrutado de un magnífico workshop en Oberwolfach. La foto de todos los participantes, junto con las fotos de los organizadores se puede ver aquí. De todo el programa, que enumero más abajo, sólo voy a comentar aquellos aspectos que más me han llamado la atención. Los comentarios son de carácter personal y sobre todo para poder acordárme en el futuro de qué he aprendido esta semana:

  • La charla de John Oprea me ha parecido muy buena: ¡hasta ha conseguido que me interesen los grupos de Gottlieb! A lo largo de ésta ha ido soltando pequeñas perlas como: “podemos pensar en los elementos de los grupos de Gottlieb como acciones de la esfera sobre el espacio” o “la curvatura y el grupo fundamental están ligados por resultados como el Teorema de Preissman, y dado que el grupo de Gottlieb detecta copias de \mathbb{Z}…”. Le he pedido bibliografía al respecto y veré si aprendo algo.
  • En las charlas de David Chataur y Katsuhiko Kuribayashi he descubierto que existe algo llamado “el funtor de división de Lannes”, que al igual que el famoso funtor T, es el adjunto por la izquierda de considerar un producto tensorial. Como cabe imaginar, se usa para el cálculo de la cohomología de espacios de aplicaciones donde ahora el espacio de salida no es el clasificador de un grupo finito.
  • Pero en lo que se refiere a modelos racionales de espacios de funciones, quien parece estar por delante de todos es Urtzi. Y el caso es que no usa el funtor de división de Lannes, o al menos eso me ha parecido entender.
  • También ha estado bien la charla de Shuichi Tsukuda sobre grupos “gauge” (dio otra sobre robótica topológica). Me ha recordado mucho el tipo de cosas que yo hacía al principio de mis trabajos sobre grupos de Lie. Habrá que echarle un vistazo al tema
  • Las sesiones de problemas han sido impresionantes. Los que han expuesto los problemas, así como aquellos que los han comentado me han dejado sin habla. Definitivamente voy a mirar cosas de los grupos de Gottlieb (a ver cuánto me dura esta fiebre).

Finalmente, la lista de charlas que he escuchado:

  1. John Oprea (Cleveland), Gottlieb Groups, Evaluation Maps and Geometry
  2. Katsuhiko Kuribayashi (Nagano), Models for Function Spaces and Applications
  3. Urtzi Buijs (Málaga), The Homotopy Lie Algebra, Lie and L_\infty Models of Mapping Spaces (joint with Y. Félix and A. Murillo)
  4. Jean-Baptiste Gatsinzi (Gaborone), Rational Homotopy Groups of Function Spaces
  5. David Chataur (Villeneuve d’Ascq), Division functors and Mapping Spaces
  6. Shuichi Tsukuda (Okina), Survey on Gauge Groups
  7. Paolo Salvatore (Roma), Cyclic Formality of the Operad of FRamed Little Discs, with Implications for Spaces of Knots
  8. Svjetlana Terzic (Podgorica), The Integral Pontrjagin Homology of the Based Loop Space on a Flag Manifold
  9. Andrey Lararev (Leicester), CharacteristicClasses of Operadic Algebras
  10. Christoph Wockel (Göttingen), Non-Integral Central Extension of Loop Groups via Gerbes
  11. Marek Golasiński (Toruń), Fox and Gottlieb Groups and Whitehead Products (joint with D. Gonçalves, J. Mukai and P. Wong)
  12. Daniel Gottlieb (Purdue/UCLA), Self Coincidence Numbersand the Fundamental Group
  13. Méadhbh Boyle (Laussanne), An Algebraic Model for the Homology of Pointed Mapping Spaces out of a Closed Surface
  14. Yves Félix (Lovain-La-Neuve), Problem Session I
  15. Jonathan Scott (Cleveland), On the Geodesic Conjecture (joint with K. Hess)
  16. Antonio Viruel (Málaga), On Equivalences of a Product and Mal’cev Quasirings
  17. Jeff Strom (Kalamazoo), Miller Spaces
  18. Shuichi Tsukuda (Okina), On the Configuration Space of a Certain n-arms Machine in Euclidean Space
  19. Yves Félix (Lovain-La-Neuve), Problem Session II